La Geometria e la Topologia della Natura

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Il termine Geometria deriva dal greco antico e significa letteralmente “misurazione della terra”. Essa nacque e si sviluppo’ nelle culture delle civiltà antiche come quella sumera ed egizia, dove si aveva la necessità pratica di misurare e suddividere gli appezzamente di terra dedicati all’agricoltura. E’ in queste culture che vennero formulati i primi teoremi empirici (cioe’ non dimostrati) come il famoso teorema di Pitagora, consociuto ben prima della nascita di Pitagora, dai matematici babilonesi. La geometria è in sostanza quel settore della matematica che si occupa delle proprietà delle strutture geometriche e che ci consente di misurare le distanze e gli angoli tra gli oggetti. La topologia invece è un settore ben piu’ giovane della geometria ed ha avuto i primi rudimentali sviluppi verso il XVIII secolo quando il grande matematico Leonard Euler dimostrò il teorema che va sotto il nome di teorema dei “Sette ponti di Königsberg”. Ovviamente il termine topologia deriva anch’esso dal greco e vuol dire “studio del luogo”, ovvero studio delle figure quando esse sono soggette a deformazioni senza tagli e incollature. La caratteristica fondamentale dele strutture topologiche è che esse sono prive di metrica, ovvero non esiste in topologia il concetto di distanza tra punti. In questo ambito sfere con raggi differenti sono equivalenti tra di loro perche’ possono essere trasformate le une nelle altre tramite deformazioni. Anche un cubo a seguito di deformazioni è equivalente ad una sfera, ma non è equivalente ad una ciambella perche’ quest’ultima ha un buco che la sfera non ha. In due dimensioni le strutture topologiche sono quindi classificabili semplicemente contando il numero di buchi presenti sulle superfici, ma in dimensioni maggiori di due le cose si complicano enormemente e non entrero’ in tecnicismi.

Il mio intento è quello di mostrare come l’utilizzo di di un linguaggio cosi’ potente come la matematica possa essere la chiave di decodifica dei fenomeni naturali e come in particolare proprio la geometria e la topologia siano i settori matematici nei quali i fisici hanno trovato e stiano trovando maggior ispirazione per raggiungere uno schema di rappresentazione dei fenomeni quantistici e gravitazionali. Ma prima di mostrare questa analisi voglia evidenziare il ruolo della matematica nel contesto delle scienze naturali.

Il linguaggio naturale è per sua natura stato sviluppato dalla civiltà umana nel corso di millenni durante i quali l’uomo ha raffinato i suoni prodotti dalle corde vocali trasformandoli in combinazioni sonore sempre piu’ articolate e producendo grafemi sulla roccia prima e sui papiri le pergamene poi fino a produrre cio’ che noi oggi classifichiamo come linguaggio sia vocale che simbolico. La matematica è in ultima analisi una forma di linguaggio. Cio’ che la caratterizza e la differenzia enormemente dagli altri linguaggi è il fatto che ogni struttura lessicale costruibile in linguaggio matematico si fonda sui principi della logica matematica e sull’assiomatica. Premesse quindi le regole logiche, partendo da un insieme di assiomi, che altro non sono che assunti non dimostrabili ma creduti veri, è possibile costruire una nuova asserzione e dimostrane rigorosamente la sua veridicità o la falsità. La geometria euclidea, cioe’ quella branca della geometria che a che fare con oggetti geometrici come i punti, le rette e i piani si basa su soli 5 postulati, chiamati postulati di Euclide tramite i quali è possibile dimostrare una miriade quasi sconfinata dei teoremi. Tuttavia la matematica differentemente da quanto ho detto fino ad ora non è un linguaggio perfetto, ma solo il meno imperfetto che si conosca. Questa imperfezione se possiamo cosi’ chiamarla è stata resa evidente al mondo solo nel 1931 quando Kurt Godel dimostro’ uno dei piu’ grandi teoremi mai formulati nella storia della matematica: il teorema di incompletezza. Questo teorema asserisce che in aritmetica che è il settore fondamentale di tutta la mamtematica, esistono delle asserzioni che non siamo in grado di dimostrare nè vere nè false. Il teorema è profondo e ha ricadute immense ed è impossibile da scardinare, in quando si fonda interamente sulla logica matematica che è l’ elemento essenziale per la costruzione di qualsiasi costrutto linguistico-matematico.

Ho voluto fare questo escursus nei fondamenti della matematica per evidenziare il fatto che essa rappresenta l’unico linguaggio tramite il quale possiamo esprimere le relazioni tra grandezze naturali fondamentali. La matematica sta ai linguaggi naturali come i fenomeni fondamentali della natura stanno ai fenomeni emergenti e combinatori che derivani naturalmente da quelle fondamentali.
Ma alla base delle scienze naturali vi è la fisica che descrive i fenomeni piu’ elementari e profondi della natura. E’ questo il motivo per cui la matematica si adatta perfettamente alla fisica e non alla biologia, antropologia ecc. La fisica descrive fenomeni “semplici” e quindi è possibile formalizzarla tramite il linguaggio piu’ “semplice” che conosciamo. Ovviamente il termine virgolettato “semplice” è sinonimo di fondamentale.
Da questo punto di vista quindi non è cosi’ assurdo constatare che effettivamente la quasi totalità dei fenomeni fisici siano descrivibili tramite certe strutture matematiche. Alcuni asseriscono che i fenomeni naturali si comportano come le strutture matematiche quasi a voler intendere che la “realtà” matematica sia piu’ fondamentale di quella naturale. Ma questa è una visione platonista che a che fare con la filosofia e non con la scienza. La scienza è l’insieme dei fenomeni che possiamo misurare e non l’insieme delle idee matematiche o non che possiamo immaginare.

Chiarito questo punto fondamentale, possiamo ora vedere come il cammino nella comprensione delle interazioni fondamentali ovvero dei fenomeni quantistici e gravitazionali non sia altro che un cammino attraverso il raffinamento e la formulazione di teorie e modelli sviluppati tramite il linguaggio della geometria e della topologia.
Consideriamo la forza di gravitazione universale di Newton. L’intensità della forza tra due corpi è proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza. Fissati i valori delle masse, dinamicamente si evolverà solo la distanza relativa in quanto attraendosi i due corpi si avvicinerranno sempre di piu’
al passare del tempo. Anche la legge di Coulomb che descrive l’attrazione e la repulsione tra due cariche elettriche ha in fin dei conti la stessa struttura matematica della legge di Newton, cioe’ va come l’inverso della distanza al quadrato tra le due cariche. Si puo’ dire che queste forze sono di tipo “geometrico”, ossia la distanza tra gli oggetti in interazione è la grandezza estensiva fondamentale. Inoltre tali forze possono essere ricavate partendo dai potenziali fisici, rispettivamente quello gravitazionale e quello elettrico. Tramite il potenziale centrale è possibile passare al concetto di campo, grandezza di primaria importanza soprattutto nella fisica Moderna.

La storia della rivoluzione scientifica nei primi anni del XX secolo è ben nota. Per quanto riguarda la gravità nel 1916 Einstein formulò la Relatività Generale, la teoria geometrica della gravità dove la geometria questa volta non era identificata piu’ con il solo spazio, ma con lo spazio-tempo. Il primo passo in questa direzione era stato fatto nel 1905 quando lo stesso Einstein aveva rivoluzionato per la prima volta la fisica classica, presentando la sua teoria della Relatività Speciale, dove il tempo non era considerato piu’ come una grandezza assoluta ma relativa e in definita veniva messo sullo stesso piano dello spazio ordinario, in quella struttura chiamata, come detto prima, spazio-tempo. In altre parole era una riformulazione geometrica del concetto tempo. Come dicevamo, con la Relatività Generale, Einstein fece il passo successivo nella geometrizzazione della gravità, considerando l’interazione gravitazionale come una deformazione dello spazio-tempo causata dalla presenza della massa e dell’energia dei corpi materiali. A livello matematico la teoria einsteniana si scrive tramite oggetti geometrici chiamati tensori che furono inventati nell’800 dai matematici italiani Ricci e Levi-Civita partendo dalla fondamentale geometria Riemmaniana inventata anni prima dal grande Bernard Riemann. Per quanto riguarda l’interzione elettromagnetica la cosa è abbastanza simile in quanto la teoria di Maxwell puo’ essere riscritta in termini geometrici costruendo dei tensori di curvatura analoghi a quelli della geometria riemmanniana. Cio’ è anche vero ovviamente per le altre due interazioni fondamentali, la forza nucleare forte e debole che possono essere descritte nella teoria che va sotto il nome di Teoria di Gauge. Ovviamente dobbiamo sottolineare le dovute e fondamentali differenze tra questa teoria e la teoria della gravità.

Le tre interazioni fondamentali sono si descritte da tensori geometrici, ma questi tensori non sono costruiti sulla geometria dello spazio-tempo, ma nella geometria dello “spazio interno”. lo spazio interno è lo spazio delle teorie di gauge dove vivono le cariche fondamentali come quella elettrica e dove i campi quantistici possono essere rotati e trasformati come si fa per un campo classico nello spazio-tempo ordinario. In questa visione, le teorie di gauge sono la combinazione dello spazio-tempo piatto esterno descritto dalla metrica di Minkowski (la metrica presente nella Relatività Ristretta) piu’ quello interno delle configurazioni dei campi quantistici. La cosa che mi preme chiarire è che una teoria geometrica è una teoria che fa uso del concetto di metrica (cioe’ il concetto di misura delle distanze) ed è legata alla presenza di gradi di libertà locali, ovvero dei gradi di libertà definiti punto per punto nello spazio su cui la teoria vive. Complementari all’ esistenza dei gradi di libertà locali, vi sono i gradi di libertà globali, dove le proprietà globali dello spazio definiscono le proprietà del sistema considerato. Cio’ significa che le grandezze fisiche che dipendono dai gradi di libertà globali non possono essere descritte da teorie geometriche perche’ la metrica è una grandezza che ha una natura “locale”. Esse saranno descritte da teorie topologiche.

C’e’ anche un modo piu’ intuitivo di vedere il legame tra geometria e topologia: una teoria topolgica è una teoria geometria a cui è stata sotratta una metrica (ovvero la capacità di misurare le distanze) e vale anche l’opposto. Esistono fenomeni fisici di natura topolgica? La risposta è affermativa. La gravità in 2+1 dimensioni (ovvero la gravità con una dimensione in meno rispetto alla quella usuale del nostro mondo in 3+1 dimensioni) è una teoria topolgica in quanto è possbile dimostrare che non vi sono gradi di libertà locali e che tutto dipende dalla topolgia dello spazio (non esistono onde granvitazionali, che sono oggetti locali per fare un esempio). Ma sono noti dei fenomeni fisici di natura topologica ben piu’ reali e misurabili. Sono i fenomeni quantistici legati all’entanglement. L’etanglement stesso è un fenomeno non locale in quanto le particelle rimangono intrecciate anche a chilometri di distanza. Cio’ significa semplimente che l’entanglement non varia con la distanza relativa degli oggetti quantistici intrecciati, in poche parole l’entanglement è un fenomeno non-metrico. Ma nelle strutture quantistiche a piu’ corpi come in fisica dello stato solidi, ci sono sistemi che assumono carattere topologico. La fisica moderna è stata infatti rivoluzionata in questi ultimi anni dalla scoperta di nuovi materiali, come il grafene e i cosiddetti isolanti topologici, materiali descrivibili da teorie quantistiche topologiche, dove le proprietà globali della struttura solida caratterizzano l’andamento e le prorietà delle funzioni d’onda delle particelle che compongono l’oggetto. In ambito teorico piu’ speculativo, si puo’ immaginare che le teorie metriche delle interazioni fondamentali possano emergere dalle teorie topologiche se si riuscisse a far emergere una metrica in una teoria topologica che a alte energie ne è naturalmente sprovvista. In quest’ottica si aprono scenari affascinanti di grande unificazione, dove le teorie della gravità quantistica, come la teorie delle stringhe, potrebbero essere irrimediabilmente accantonate.